度量空间与线性空间是两种基本的空间，本文对度量空间进行简要总结
符号
\(\mathbb{K}\)表示实数集\(\mathbb{R}\)或者复数集\(\mathbb{C}\)
1. 定义
称度量空间\((X,d)\)包括集合\(X\)和一度量\(d:X\times X \rightarrow \mathbb{R}\), 同时度量满足以下四个性质
- 非负性: \(\forall x, y \in X, d(x, y) \geq 0\)
- 非退化性: \(x, y \in X, d(x, y)=0 \Leftrightarrow x=y\)
- 对称性: \(\forall x, y \in X, d(x, y)=d(y, x)\)
- 三角不等式: \(\forall x, y, z \in X, d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y)\)
度量空间是一类基本空间，在度量空间中定义了度量，或者称距离
\(\text { Remark: 注意到 }\{\infty\} \notin \mathbb{R} \text { ，即还有一个隐含的要求, 距离必须是有限的。 }\)
2. 例子
2.1 一维数集与自然距离构成度量空间
一维数集上的自然距离是度量，\((X,d)\)为一度量空间
\(X=A \subset \mathbb{K}, d(x, y)=|x-y|, \forall x, y \in X\)
2.2 离散集合与示性函数构成度量空间
\(X\) 为离散集合， \(d(x, y)=\mathbb{I}[x \neq y]\), 其中 \(\mathbb{I}[\) cond \(]\) 为指示函数, 条件为真时取 1 , 否则 取 0 。
证明它是度量空间: 前三条容易证明，三角不等式可以用分类讨论证明。先考虑 \(x=y ，\) 再考虑 \(x \neq y\) 。后一种情况再分为 \(x=z \neq y, x \neq z=y, x \neq z \neq y\) 三种情况说明。
2.3 序列空间Lp与其Lp-norm构成度量空间
范数不是为向量定义的吗。序列空间Lp也是向量吗？希望有数学系的小伙伴予以解答
\(l^{p}:=\left\{\left\{x_{n}\right\}: \sum_{n=1}^{\infty}\left|x_{n}\right|^{p}<\infty\right\}, 1 \leq p<\infty\)
\(X=l^{p}, \quad d_{p}(x, y)=\left(\sum_{n=1}^{\infty}\left|x_{n}-y_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p}\)
2.4 几何向量与其无穷p范数构成度量空间
对于向量空间 \(X=A \subset \mathbb{K}^{n} ， d_{p}(x, y)=\left(\sum_{i \in[n]}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 / p}\) 为其度量, 其中 \(p \in[1,+\infty)\)
对于向量空间 \(X=A \subset \mathbb{K}^{n}, d_{\infty}(x, y)=\max _{i \in[n]}\left|x_{i}-y_{i}\right|\) 为其度量, 它是前述度量中 \(p \rightarrow \infty\) 的极限情形。