完备性是泛函分析中的重要概念，本文对此概念进行简要总结
空间完备性
为了定义完备性，需要首先清楚柯西序列和收敛的概念
1. 收敛性与柯西列
1.1 柯西列
给定某个度量空间 \(X\) 中的序列 \(\left\{x_{i}\right\}\), 当满足以下条件时，他就叫做柯西序列 (Cauchy sequence)
对任意 \(\varepsilon>0\), 存在 \(N\) ，当 \(m, n \geqslant N\) 时就满足 \(d\left(u_{m}, u_{n}\right)<\varepsilon\).
1.2 收敛
设 \((X, d)\) 为度量空间， \(\left\{x_{n}\right\}\) 为 \(\mathrm{X}\) 中的数列，若存在 \(x \in X\) 使得 \(\lim _{n \rightarrow \infty} d\left(x_{n}, x\right)=0\) ，则 \(\left\{x_{n}\right\}\) 在 \(X\) 中收敛, 称 \(\left\{x_{n}\right\}\) 为收敛列, 称 \(x\) 为 \(\left\{x_{n}\right\}\) 的极限, 记做 \(x_{n} \rightarrow x\) 。
\(Remark:\)
收敛列比柯西列更严格。或者说收敛列一定是柯西列
柯西列的直观理解是，一个序列的元素随着序数的增加而愈发靠近，并且最终趋于无限近
收敛列一定有界，不仅如此，柯西列也一定有界
2. 完备空间概念
完备空间指这样性质的空间: 空间中的任何柯西序列都收敛于这个空间中
\(Remark:\)
完备空间是特殊的度量空间。因为按照定义完备空间需要"柯西列收敛"，而为了定义收敛，需要先定义先度量
欧几里得空间是完备空间。这给了它很好的性质，也即柯西列的收敛性
证明如下:
Let \(\left\langle\left(x_{n, 1}, x_{n, 2}, \ldots, x_{n, m}\right)\right\rangle_{n \in \mathbb{N}}\) be a Cauchy sequence in \(\mathbb{R}^{m}\).
Let \(\epsilon>0\)
Then \(\frac{\epsilon}{m}>0\).
We have that Real Number Line is Complete Metric Space.
Therefore:
\(\exists y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m} \in \mathbb{R}\) and \(N_{1}, N_{2}, \ldots, N_{m} \in \mathbb{N}\) (depending on \(\epsilon\) ) such that:
\[ \forall k \in \mathbb{N}: 1 \leq k \leq m: \forall n_{k}>N_{k}:\left\langle x_{n, k}-y_{k}\right\rangle<\frac{\epsilon}{m} \]
From Euclidean Space is Normed Space:
\[ \left\|\left(x_{n, 1}, x_{n, 2}, \ldots, x_{n, m}\right)-\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m}\right)\right\| \leq \sum_{k=1}^{m}\left|x_{n, k}-y_{k}\right|<\epsilon \]
Hence the Euclidean space is a complete metric space.
数集\(\mathbb{R}\)、\(\mathbb{C}\)都是完备的
R和C的子集不一定完备。例如取\(X=(0,1)\)。取一柯西列(元素可以无限靠近)\(x=1/n\)，其极限0不在该空间中
完备度量空间一定为闭集(结合上面例子记忆)
完备度量空间的闭子集仍然完备
“完备” 可以形象理解为空间中没有 “漏洞”．有限维空间都是完备的．可数维空间都是不完备的．例如有理数集和多项式组成的空间就是不完备的（柯西序列的极限可以是 e^x，但是 e^x并不属于该空间）